黃鐘大呂十八律

淳熙十四年丁未（1187年）正月，蔡元定著就《律呂新書》。《律呂新書》全書2卷，上卷《律品本源》10章，下卷《律品辨正》10章。主要探討音律中旋宮問題，提出了十八律的理論。

什么是“律”，即“律度量衡”，就是樂音的高低、物件的長短、物體的大小、物質的輕重，必須要有個測定的統(tǒng)一標準，不然的話，人們的社會活動就會亂了套。確定律主要是為了“樂”的需要，是不可缺少的。確定共同遵守的標準音高就是定律。歷代皇帝都十分重視統(tǒng)一樂律，把它擺在“律度量衡”之首。

在明代朱載育發(fā)明“新法密律”(即十二平均律)之前，我國主要采用“三分損益律”的方式來推算，“三分損益律”在我國沿用了兩千多年。但是，三分律的缺陷也是很明顯的，那就是律生十二次后，不能還原到第一律，這是因為按三分律生出的十二律，按高低排列后，各律之間長短參差不齊造成的。打個比方：如蒙上眼睛讓你原地轉圈，開始面朝某一方向，如正南方，心里數一圈、二圈……轉了十二圈后停住，發(fā)現已不面朝正南了，因為盡管圈數設錯，但腳步有長有短，不是走過了頭，就是還不到位。這種轉法，不管你是從哪一個方面轉起，都回不到原位置了。這問題使歷代律學家大傷腦筋。有的人用繼續(xù)推算生下去的方法，以求縮小差數，力求接近第一律，如“六十律“到”三百六十律“等等。但他們還是沒有最后消滅這種音差，反而造成許多麻煩，實踐上也行不通。

蔡元定在仔細研究了前人的教訓后，發(fā)現在律生十二次之后，再生六律就可以停止了，以原十二律為主，后六律為變律，排列在那些與鄰律之間有較大音差的各律之間，調整長短不齊的關系。從理論上講，不論從十二律的任何一律開始旋宮(轉調)。經過改用變律來調整，都可以順當進行，又符合三分律的特點。

寶佑三年乙卯（1255年）五月六日，參知政事蔡杭向宋理宗進其祖父蔡元定《律呂新書表》。八月二日，宋理宗詔書：“端明殿學士太中大夫同簽書樞密院兼同提舉編修敕令同提舉編修經武要略建陽縣開國伯食邑七百戶實封一百戶蔡杭，故祖贈迪功郎，謚文節(jié)公蔡元定，卓絕之才，精詣之識，貫天地人物之理，博學而無所成名，納罟獲陷阱之中，無入而不自得?！商刭浱由俑?。”

淳熙十五年戊申（1188年），右丞相趙汝愚，秘書監(jiān)楊萬里，太常卿尤袤三人舉薦蔡元定入朝為官，蔡元定都以有病辭，決心隱居西山以為終老之計。

楊萬里稱贊他：“性質豪邁，器識宏深。道德文章足以儀刑于當時，著書立言足以垂范于后世。今之賢士大夫皆仰其道德之光，成人小子俱蒙其造化之力。”尤袤稱贊他：“資稟穎異，克養(yǎng)完粹，守份安貧，有經世濟物之才，有制禮作樂之具。”

這年，蔡元定幫助朱熹重修《周易本義》和《四書集注》，《周易本義》是一部以卜筮為主要內容的著作，九月，由蔡元定刊刻于莒口后山。

淳熙十六年己酉（1189年）三月，在麻沙作完成《皇極經世指要》，并自序。《皇極經世指要》是一部對邵雍學術的全面而明晰的概括的著作。

至此，宋孝宗淳熙年間，從1175年至1189年，蔡元定共完成了《陰符經解》、《大學說》、《大衍詳說》、《共范解》、《潛虛指要》、《氣運節(jié)略》、《易學啟蒙》、《律呂新書》、《皇極經世指要》等著作。